7.3.3 向量的模与方向余弦的坐标表示式

向量可以用它的模和方向来表示,也可以用它的坐标来表示。为了应用上的方便,有必要找出这两种表示法之间的联系,就是说要找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系。

对于非零向量 ,由向量的定义可知:它的模为。它的方向,可以用它与三条坐标轴的夹角 )来表示,并称 为非零向量方向角,而就称为该向量的方向余弦

由图(图7-8)可知:

其中

上述讨论表明:当已知非零向量的坐标表示后,可按下列公式计算它的模与方向余弦:

同时,若以知向量的模与方向余弦,也可以按下列公式计算其坐标:

把方向余弦公式的三个等式两边分别平方后相加,便得到

这就是说,任一向量的方向余弦的平方和等于1

由上面讨论知,与非零向量同方向的单位向量为

 

例9:求平行于向量的单位向量的分解式。

解:

所求向量有两个,一个与同向,一个与反向:

 

例10:,求向量的方向余弦。

解:

所求向量为:

所求向量的模为:

所求向量的单位向量为:

所求向量的方向余弦为:

 

例11:设有向量 已知,它与x轴和y轴的夹角分别为,如果P1的坐标为(1,0,3),求P2的坐标。

解:

设向量的方向角为

则由题设有

P2的坐标为(x,y,z),则,从而

P2的坐标为(2 ,4),(2 ,2

 

例12: ,求向量在x轴上的投影及在y轴上的分向量。

解:

      

      

∴在x轴上的投影为ax=13,在y轴上的分向量为

 

例13:下列说法正确的是(  )。

A、任何向量都有确定的大小和方向;

B、任何向量除以自己的模,都是单位向量;

C、只有模为0的向量才是零向量;

D、0乘以任何向量都是数0。

解:

应选C。

A错,零向量的方向不确定;

B错,应排除零向量;

D错,数0乘任何向量是零向量。

 

例14:给定两点M(-2,0,1)和N(2,3,0)在x轴上有点A,满足,则点A的坐标是(  )。

A、(0,1,0)         B、(0,2,0)

C、(1,0,0)         D、(2,0,0)

解:

应选C。

用两点间的距离公式验证知点(1,0,0)满足

 

例15:设向量的终点坐标为(2,1,7),求

(1)起点坐标     (2)模长

(3)方向余弦     (4)与x轴的夹角为

分析:根据向量的坐标表示知:

由两定点所确定的向量等于终点坐标减去起点坐标,即

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

注意到:

根据两向量相等对应坐标等,方可求得起点A的坐标。

解:

(1)设起点坐标为A(x,y,z),终点的坐标为B(2,1,7)

根据两向量相等对应坐标等, 得2-x=4,1-y=-4,7-z=7

所以起点坐标为:(-2,5,0)

(2)向量的模长等于坐标的平方和开方

所以

(3)因为向量的方向余弦就是其单位向量的三个分量;所以首先将向量单位化,即

方向余弦为

 

例16:设已知两点 ,计算向量的模、方向余弦和方向角。

解:

因为

所以,模为:

                    

方向余弦为:

方向角为:

 

例17:设已知两点 ,求方向和一致的单位向量。

解:

于是

为和方向一致的单位向量,由于

即得